找不着北

镜子为什么反转左右却不可以翻转上下

听说是一个微软面试题。虽然我不知道正确答案是什么（也许并没有什么正确答案），但是对于这样的题，我很感兴趣。

一开始我认为人的前后概念是既定的。即人先有前后，然后有左右，然后有上下。前后、上下、左右组成了世界的三维。之所以能反转左右，是因为前后的相对位置变了，镜子里的人（简称镜人）的前是我的后，镜人的后是我的前，前后的颠倒导致了左右的颠倒。即人的前后相对位置决定了左右位置（作垂线），而前后左右又决定了上下关系（作平面的垂线）。

自以为这是对的了，后来网上搜索了一下，发现一个重要问题。题目是伪命题。因为如果天花板是镜子的话，你会发现人是可以被翻转上下的。而此时，镜人的前后和本人（即与镜人相对应的真实的人）的前后并没有发生变化。

发觉其实前后关系和上下左右关系并没有什么直接的联系，没有谁决定谁的道理。在三维空间里，一条直线可以做很多条垂线，而这些垂线却虽然在一个平面上，但是没有任何联系。所以理论上，如果我们确定了前后关系，我们的左可以是左上，也可以是右上（因为都垂直于前后这条直线）。事实是，两条互相垂直的直线位置确定了第三条直线的位置。即在一个三维世界中，二维可以确定第三维。如同在一个二维世界里，一维能确定第二维。我们通过眼睛平视的方向（第一维，前后），和两只眼睛的直线方向（第二维，左右）可以确定上下方向。当然也可以通过上下，左右来确定前后。

当然上面说的都是废话，和主题关系不是很大。但是至少能确定我第一次想的是不对的。

在一个封闭屋子里，如果六面都是镜子的话，会出现什么情况？答案是前后两面镜子中的镜人是同一个人，上下和左右都是如此。说明镜子的位置确定，平移不会影响镜人和本人的位置关系

我试图找出其中的关系。试想，如果镜人是靠本人翻转后对称（互换）会出现下面的情况三维几何坐标，x轴是前后关系，y左右关系，z上下关系。

翻转面 对称轴 呈现的翻转
镜子在面前 xy y x y（左右和前后都相反）
镜子在头顶 yz x x z（左右和上下都相反）
镜子在侧面 ?? ? ? ?（上下前后左右都不翻转）

第三种情况让人匪夷所思。于是我假设，镜人和本人本来就是左右互换的。镜子在面前，与镜面垂直的是前后关系，由于镜子的反射导致前后颠倒。镜子在头顶，与镜面垂直的是上下关系，由于镜子的反射导致上下颠倒。镜子在侧面，与镜面垂直的是左右关系，因为之前已经假设左右关系已经互换，所以又被互换回来，这样，看到的镜人就和本人上下前后左右都是一致的了。

假设虽然能解释这个问题，但是镜子在侧面的时候，本人确实没有通过翻转来变成镜人。这是为什么呢？

后来突然想到了伽莫夫的那本《从一到无穷大》，里面关于扭曲时空的讨论。很值得研究。

另一方面，有些东西，如礼帽，网球拍等许多物体，就不存在这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯；如果有人叫你找邻居去借一把左手用的活动扳手，这也纯粹是在捉弄人。那么，这两类物体有什么区别呢？你想一想就会发现，在礼帽和茶杯等一类物体上都存在一个对称面，沿着这个面可将物体切成两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试，无论怎么切，你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的，而且就能把它们分成两类－－左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来，在自然界中也经常存在。例如，存在着两种蜗牛，它们在其它各个方面都一样，唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也象在左、右手手套和蜗牛壳的情况中一样，往往有左旋和右旋两种形态。当然，分子是肉眼看不见的，但是，这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质，都显示出这种不对称性。例如，糖就有两类，左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的糖，信不信由你。

　　从上述内容看来，要想把一个右手系物体（比如说一只手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的。真的是这样吗？能不能想象出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢？我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做，我们能站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图22，图上描绘了扁片国－－即仅有两维的空间－－的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”因为他只有“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点，是一头“右侧身驴”。当然，我们也可以画出一头“左侧身驴”来。这时，由于这两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看，它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起，因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行，这样，它可就四脚朝天，无法立足喽。

生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过，这类生物很不“现实”。那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己的嘴里。那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走，如果它要向左去，就只好退着走。驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么象样。

　　
　　不过，如果把一头驴子从面上取下来，在空间中掉转一下，再放回面上来，两头驴子就都一样了。与此相似，我们也可以说，如果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中，用适当的方式旋转一下再放回来，它就会变成一只左手手套。但是，我们这个物理空间并没有第四维存在，所以必须认为上述方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？

　　让我们还回到二维世界上来。不过，我们要把图22那样的一般平面，换成所谓的梅比乌斯（Mobius）面。这种曲面是以一个世纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容易得到：拿一长条普通纸，把一端拧一个弯后，将两端对粘成一个环。从图23上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质，其中有一点是很容易发现的：拿一把剪刀平行于边缘的中线剪一圈（沿图23上的箭头），你一定会预言，这一来会把这个环剪成两个独立的环；但做一下看看，你就会发现你想错了：得到的不是两个环，而是一个环，它比原来那个长一倍，窄一半！

　　让我们看看，一头扁片驴沿莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）开始，这时看来它是头“左侧身驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，越过了位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了。

　　总之，当沿梅比乌斯面走一圈后，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。要记住，这是在驴子一直处在面上而从未取出来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图23所示的梅比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克莱茵瓶如图23所示）。这种“瓶”有一个面，它自我封闭而没有明显的边界。如果这种面在四维空间内是可能的，那么，同样的情况也能在三维空间发生，当然，这要求空间有一个适当的扭曲。要想象空间中的梅比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能象看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间，而从内部看又往往是看不清的。但是，天文空间并非不可能自我封闭，并有一个梅比乌斯式扭曲的。

　　如果情况确实如此，那么，环游宇宙的旅行家将会带着一颗位于右胸腔的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚了。

就是说，那头驴通过梅比乌斯面，使自己的左右互换了。二维平面通过在三维空间中的二维扭曲可以让左右互换。那么三维空间的可以通过在四维空间中扭曲三维空间使物体对称。镜人其实就是扭曲后的物体，所以，在镜子上看镜人，他的右手定律和我们是相反的。

仔细考虑后，又发现，只要把二维空间的其中一维正反互换的话（比如y轴往相反方向运动），这样形成的物体就是所谓的对称体，而且，x轴正反互换和y轴正反互换形成的两个对称体其实是一模一样的。同理，三维空间是其中的二维发生了正反互换，而且不管是哪两维正反互换，形成的对称体都是一模一样的。就比如那个六面都是镜子的小屋，里面的6镜人理论上都是左撇子。

进一步发现，镜子在面前的时候，左右和前后都相反，其实就是前后左右二维发生了相反运动，镜子在头顶，是上下和左右发生了相反的运动。推理，镜子在侧面，是上下和前后发生了相反的运动。本人的上，是镜人的下，本人的下，是镜人的上，本人的左是镜人的左，本人的右是镜人的右。

可是问题是，我没有看到上下和前后发生颠倒，这是为什么？我暂时还没研究出来，你研究出来了吗？

update(2009.0.3.18):

今天逆流的鱼跟我交流了一下。发现我最后说的那段话是理解错了。

简单来说，三维空间有三个坐标，镜子把其中一个坐标的方向弄相反了。所以在人的相对位置观念(上下前后左右)里，不管镜子在哪个位置，也只有一个相对位置被弄反了。

我弄错的原因，是当我把自己想成是镜子里的人的时候，我的左右观出现了问题。这好比我要去星际旅行，我旅行之前，先把左手的小拇指剁了（虽然比较残忍，但为了科学，也就忍了），然后我就认定被剁掉手指的那只手的方向是左。等旅行完回来后，我成了镜子里的人（相当于我去四维空间转了一圈，把三维坐标里的某一个坐标弄反了）。这样，我会发现，我所谓的左（就是我被剁手指的方向），镜子外面的人（如果他们还把你当人看的话），他们看起来那是右。

这样就清楚了。理一下就是，镜子在前面，前后方向互换；在天花板，上下互换；在侧面，左右互换。

再说一下，我要解决的问题，是镜子里的人的位置观。